De nombreux étudiants qui étudient les mathématiques avancées dans des cours avancés se sont probablement demandé: où les équations différentielles (DE) sont-elles utilisées dans la pratique? En règle générale, cette question n'est pas abordée lors des cours, et les enseignants procèdent immédiatement à la solution de la théorie du contrôle sans expliquer aux étudiants l'utilisation des équations différentielles dans la vie réelle. Nous allons essayer de combler cette lacune.
Nous commençons par définir une équation différentielle. Ainsi, une équation différentielle est une équation qui relie la valeur d'une fonction dérivée à la fonction elle-même, aux valeurs d'une variable indépendante et à certains nombres (paramètres).
Le domaine le plus courant dans lequel les équations différentielles sont appliquées est la description mathématique des phénomènes naturels. Ils sont également utilisés pour résoudre des problèmes où il est impossible d'établir une relation directe entre certaines valeurs qui décrivent un processus. Ces tâches se posent en biologie, en physique et en économie.
En biologie:
Le premier modèle mathématique substantiel décrivant les communautés biologiques a été le modèle Lotka-Volterra. Il décrit une population de deux espèces en interaction. Le premier, appelé prédateur, meurt selon la loi x '= –ax (a> 0) en l'absence du second, et le second, victime, en l'absence de prédateur se multiplie à l'infini conformément à la loi Malthus. L'interaction de ces deux espèces est modélisée comme suit. Les victimes s'éteignent à un taux égal au nombre de rencontres de prédateurs et de victimes, qui dans ce modèle est supposé être proportionnel au nombre des deux populations, c'est-à-dire égal à dxy (d> 0). Par conséquent, y '= by - dxy. Les prédateurs se reproduisent à un rythme proportionnel au nombre de proies consommées: x '= –ax + cxy (c> 0). Système d'équations
x '= –ax + cxy, (1)
y '= par - dxy, (2)
décrivant une telle population, un prédateur est une proie et s'appelle le système Trays - Volterra (ou modèle).
En physique:
La deuxième loi de Newton peut être écrite sous la forme d'une équation différentielle
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), où m est la masse du corps, x est sa coordonnée, F (x, t) est la force agissant sur le corps avec la coordonnée x au temps t. Sa solution est la trajectoire du corps sous l'action de la force indiquée.
